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La computabilità: algoritmi, logica, calcolatori PDF

La Matematica insegna a calcolare il valore numerico delle incognite che si presentano nei problemi pratici. Questo è lo scopo ultimo di tutte le teorie, analitiche, geometriche e la computabilità: algoritmi, logica, calcolatori PDF. Queste, nelle nostre scuole, devono essere coronate dal calcolo numerico, onde porne in luce il significato e l’applicazione.


Författare: Dario Palladino.

La teoria della computabilità è un settore della ricerca logico-matematica che studia la nozione di calcolo effettuabile in modo meccanico. Nata negli anni trenta del secolo scorso, ha assunto un ruolo centrale per la nuova scienza dei calcolatori nel secondo dopoguerra. Il testo si propone di esporre i concetti fondamentali della computabilità senza presupporre alcuna conoscenza tecnica preliminare, guidando così il lettore in un percorso ai confini tra logica, informatica, intelligenza artificiale e teorie della mente.

La maggior parte dei metodi di soluzione forniti dall’analisi numerica sono fondate sull’algebra lineare o sulla costruzione di successioni convergenti di numeri o funzioni. Un classico esempio di algoritmo iterativo è il metodo di Newton per calcolare gli zeri di una funzione. L’impatto sul mondo reale è decisivo e sfata il luogo comune secondo il quale la matematica non avrebbe alcun fine pratico. Ma gli algoritmi di analisi numerica sono applicati quotidianamente per risolvere molti altri problemi scientifici e tecnici. L’efficienza degli algoritmi e della loro implementazione ha una grande importanza. Pertanto, un metodo euristico ma efficiente può essere preferito a un metodo con una solida base teorica ma inefficiente, e i linguaggi di programmazione datati ma efficienti Fortran e C sono i più usati. In generale, l’analisi numerica è una scienza sia teorica che sperimentale.

Infatti usa assiomi, teoremi e dimostrazioni, come il resto della matematica, ma usa anche i risultati empirici delle elaborazioni eseguite per studiare i metodi migliori per risolvere i problemi. Il campo dell’analisi numerica risale a secoli prima dell’invenzione dei calcolatori elettronici. Per facilitare i calcoli a mano, furono stampati grandi libri pieni di formule e tabelle di dati come i punti interpolanti e i coefficienti di funzioni. Usando queste tabelle, si potevano trovare i valori da inserire nelle formule date e ottenere stime numeriche molto buone di alcune funzioni. La calcolatrice meccanica fu pure sviluppata come strumento per il calcolo manuale. Il campo dell’analisi numerica è suddiviso in diverse discipline a seconda del problema da risolvere. Uno dei problemi più semplici è la valutazione di una funzione in un dato punto.

Ma perfino valutare un polinomio non è immediato: l’algoritmo di Horner è spesso più efficiente del metodo banale. I metodi di interpolazione e estrapolazione stimano il valore di una funzione incognita dato il valore della funzione stessa in alcuni punti. La regressione è simile ai suddetti problemi, ma tiene conto che i valori dati sono imprecisi. La tecnica più usata per la regressione è il metodo dei minimi quadrati. Un altro problema fondamentale è calcolare la soluzione di un’equazione o di un sistema di equazioni.

I problemi lineari sono più facili da risolvere. I metodi per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari possono essere divisi in due categorie. La prima categoria è quella dei metodi diretti. A questa categoria appartengono per esempio il metodo di eliminazione gaussiana e la fattorizzazione LU. I metodi diretti costruiscono l’esatta soluzione, a meno di errori di arrotondamento, in un numero finito di passi.

La seconda categoria è quella dei metodi iterativi. Appartengono ai metodi iterativi per esempio il metodo di Jacobi, il metodo di Gauss-Seidel e il metodo del gradiente coniugato. Quando ci si trova invece di fronte ad equazioni non lineari, si ricorre agli algoritmi per trovare radici. Se la funzione è derivabile e la sua derivata è nota, allora il metodo di Newton è una scelta diffusa. Spesso, il punto deve soddisfare anche alcuni vincoli. Il campo dell’ottimizzazione è ulteriormente diviso in più sottocampi, a seconda della forma della funzione obiettivo e dei vincoli.